Distance de freinage

D'après un sujet de bac.

Le tableau suivant donne la distance de freinage nécessaire à une automobile circulant sur une route humide pour s’arrêter.

Cette série statistique est représentée ci-dessous par un nuage de points, que l’on a ajusté graphiquement par une droite.

On se propose d’améliorer cet ajustement. Pour cela, on considère le tableau statistique suivant, où \(x_i\) désigne la vitesse de l’automobile et \(y_i\) la racine carrée de la distance de freinage.

1. Représenter le nuage de points \(\text{M}_i ( x_i~; y_i)\) dans un repère orthogonal, avec pour unités graphiques : en abscisse \(1\) cm pour \(10\) km/h ; en ordonnée \(1\) cm pour \(1\) unité.
2. Le point moyen d'une série statistique à deux variables est une manière de représenter la « position centrale » ou « moyenne » des données dans un plan. Son abscisse est la moyenne des abscisses des points. Son ordonnée est la moyenne des ordonnées des points. On appelle \(\text{G}_1\) le point moyen des \(5\) premiers points de ce nuage et \(\text{G}_2\) le point moyen des \(5\) derniers points.
    a. Déterminer les coordonnées de \(\text{G}_1\) et de \(\text{G}_2\).
    b. Démontrer qu’une équation de la droite \((\text{G}_1\text{G}_2)\) est \(y = 0{,}116x +0{,}6\).
    c. Tracer cette droite sur le graphique précédent.
3. a. En utilisant l’équation de la droite \((\text{G}_1\text{G}_2)\), déterminer une estimation de \(y\) si la vitesse de l’automobile était de \(140\) km/h. En déduire la distance de freinage, à \(1\) m près, correspondant à cette vitesse.
    b. À l’aide de la droite d’ajustement de la figure de l’introduction, estimer graphiquement la distance de freinage à \(140\) km/h.